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第二章数字的意义（2）

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六

希腊数学，作为一种有关可感知的量的科学，蓄意把自己限定在可理解的当下在场的事实上，把它的研究和这些研究的有效性局限在近旁的小事物上。

与这一数学无懈可击的一致性相比较，西方数学的立场被认为实际上有点非逻辑的味道，尽管只是自非欧几何发现以来，这一事实才真正地被认识到。

数是完全非感觉化的理解的意象，是纯粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。

因此，数能否确实地运用于意识经验的现实性，这本身便是一个问题，并且是一个不断地被重新提出而从未获得解决的问题，而数学体系与经验观察之间的符合，在目前还只能视作是自明的。

尽管门外汉的观念‐‐例如在叔本华身上所看到的‐‐认为数学有赖于感官的直接证据，但欧几里得几何学‐‐虽则表面上看，其与所有时代通行的几何学是同一的‐‐与现象世界仅仅是近乎吻合，且是在非常狭窄的范围内‐‐事实上是在画图板的范围内‐‐才近乎吻合。

扩大这些范围，则‐‐例如‐‐欧几里得的平行线将会变成什么？它们会在地平线上相交‐‐我们一切的艺术透视就是建立在这一简单的事实之上的。

因此，康德是一位西方思想家，他回避了有关距离的数学，而诉诸一组数字例证，而对于它们的绝对细分，他认为尤其不能用西方的无穷小的方法来处理，他这样做并不矛盾。

但是，欧几里得是一位古典时代的思想家，当他禁止通过参照‐‐比如说‐‐由一个观察者和两个无穷远的恒星所构成的三角形来证明他的公理的现象真理时，这与古典时代的精神是完全一致的。

因为这些东西既不能被画出来，又不能&ldo;直观地领会到&rdo;，他的感受恰恰是害怕无理数的感受，是不敢给予像零这样的虚无以一个价值（例如，说它是一个数），甚至在沉思宇宙关系时也不敢直视无穷大，而只能固守着它的比例的象征的感受。

萨摩斯岛（saos）的阿里斯塔库斯在公元前288至前277年间属于亚历山大里亚的天文学家圈子，这个圈子无疑与迦勒底-波斯学派有关系；阿里斯塔库斯曾提出了一个日心说的世界体系。

经过哥白尼（pernic）的再发现，这一日心说的体系将动摇西方人的形而上情感的基础‐‐乔尔丹诺&iddot;布鲁诺即是明证‐‐将成为强有力的预兆的完成，并将证明浮士德式和哥特式的世界感，这种世界感早已经通过哥特式大教堂的形式而体现了对无限的信仰。

但是，阿里斯塔库斯当时的世界对他的著作根本漠不关心，因此很短的时间里就被遗忘了‐‐我们可以推测，这是故意的。

他的为数不多的追随者几乎全都是小亚细亚的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（seleuc）（约公元前150年）来自底格里斯河流域的波斯的塞琉西亚（seleucia）。

事实上，阿里斯塔库斯的体系在精神上根本没有诉求于古典文化，它其实对后者构成为一种威胁。

不过，这一体系与哥白尼的体系在某个方面有根本的不同（这一点常常被人忽视了），正是这个方面使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一个物质上有限和视觉上可感的球状虚空（hollowsphere）中的，在这球状虚空的中间是行星系统，其排列和运行正如哥白尼的路线。

在古典天文学中，地球和天空中的其他星体被一致地认为是两种不同的实体，不论对其运动的具体细节的解释是多么的多样。

同样地，相反的观念认为，地球只是众星体中的一种，这一观念本身与托勒密式的体系或哥白尼式的体系并非格格不入，事实上，它的真正先锋是尼古拉&iddot;库萨（nilacan）和列奥纳多&iddot;达&iddot;芬奇（leonardodavci）。

但是，由于天球（celestialsphere）这一概念的发明，那本来可能危及感受性的古典文化的有边界的观点的无穷大原则便被掩盖了。

也许有人会认为，无穷大的概念是阿里斯塔库斯的体系所必然隐含的‐‐而事实上，早在他的时代之前，巴比伦的思想家就已经抵达了这个概念。

但希腊全无此等思想出现。

相反，在阿基米德著名的有关沙粒的论文中，他证明说，用沙粒填满一个立方体的物体（这根本上就是阿里斯塔库斯的宇宙），便可得到一个非常高但决不是无穷的图象结果。

他的这一命题尽管一再被引用，认为是向积分学迈出的第一步，但其本身原是对我们所谓的&ldo;分析&rdo;概念的一种否定（实际上，在论文的标题中就已经隐含了这一点）。

在我们的物理学中，不断出现的一种有关物质性的（或者说可直接感知的）以太的假设，一次又一次地与我们拒绝承认任何物质性的边界的做法相冲突；欧多克斯、阿波罗尼乌斯（apolloni）和阿基米德当然是最敏锐、最大胆的古典数学家，他们主要用直尺和圆规，对既成之物完全地进行纯视觉的分析，而其基础，便是古典的雕塑式的边界概念。

他们运用经过深思熟虑而得出的（可对我们来说几乎是不可理解的）求积的方法，但这些方法与莱布尼茨的定积分方法甚至只有表面的相似。

他们也运用几何轨迹和坐标系，但这些通常都是度量的一些被明确的长度和单位，而不是‐‐如同在费马（ferat）、尤其是在笛卡儿那里‐‐未被明确的空间关系，不是依据点在空间中的位置而定的点的价值。

在所有这些方法中，还要特别地提一下阿基米德的穷竭法（exhationthod），在最近发现的阿基米德致厄拉多塞尼（eratosthenes）的信中，他论及了用内接矩形（而不是相似的多边形）求抛物面的截面积的方法。

但是，这一极端精密复杂的方法，仍是基于柏拉图的某些几何学观念，虽然表面上与帕斯卡尔的方法有可类比之处，但两者之间还是有极大的不同。

其与黎曼的积分观念也截然相异。

那么，阿基米德的这些观念与今日所谓的求面积法有着何样的尖锐对立？阿基米德的方法本身，如今不过是一种不幸的残余，它所谓的&ldo;表面&rdo;（surface），如今已被代之以&ldo;封闭函数&rdo;（boundgfunction），而它所用的描画法（drag），如今也已经消失。

古典和西方的数学心灵彼此间从未像在此例中如此的接近过，也从未像在此例中如此明显地显示出这两种心灵之间的隔阂之深，根本不可能彼此沟通。