取代具体的线和面的感觉要素‐‐这是古典界限感的一个典型特征‐‐代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，&ldo;点&rdo;被视为是一组排列在一起的纯粹数字。

源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，代之而起的是空间位置中可变的关系值。

一般来说，我们不认为这是几何学的替代品，仿佛从此之后，几何学只能是躲在古典传统身后的一个虚构的存在。

&ldo;几何学&rdo;这个词有着一种不能随便扩展的阿波罗式的意义，而自笛卡儿时代开始，所谓&ldo;新几何学&rdo;，则是由综合和分析两部分构成的，其中综合的工作是针对不再必然地是三维的某个空间（它其实是&ldo;点的集合&rdo;）中点的位置而进行的，分析的工作则是通过空间中点的位置来定义数字。

这样以位置代替长度之后，便会随之出现一种纯空间的、而不再是物质性的广延概念。

对传统的、视觉上确定的几何学的这种摧毁，最明晰的例证，在我看来，莫过于把角函数‐‐在印度数学中，它便是数字（我们的心智几乎无法理解印度人的这个词的含义）‐‐转化成周期函数，由此而进入无穷的数字王国，在那里，角函数变成了级数（series），不再留有欧几里得几何图形的丝毫迹象。

在此数字王国的所有部分中，圆周率π，如同纳皮尔（napier）的底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的分划，这些关系本质上既非算术的，亦非几何的，所以，不再有人梦想着实际地画出圆弧或以图来说明乘方。

九

相当于公元前540年左右的时候，古典心灵由毕达哥拉斯这样的人发明了它自身所独有的阿波罗式的数，亦即那种可以度量的量，西方心灵则由笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马、德扎古斯（desargues）这些人而发明了一种数的概念，这一概念是狂热向往无限的浮士德倾向的产物。

数作为事物的物质性在场所固有的一种纯粹的量，与数现今作为一种纯粹的关系，正好平行而形成对照。

如果我们可以把古典的&ldo;世界&rdo;，亦即宇宙秩序，视为是根基于对可见的界限的深刻需要，并因而视为是由物质性的事物所构成的总和，那我们也可以说，我们的世界图象乃是无限空间的一种现实化，在那一空间中，一切可见的事物几乎只能作为低层次的、局限于不可限度的在场而出现。

西方文化的象征是其他文化所从未想到的一种观念，那就是函数的观念。

函数决不是先前存在的任何数字观念的一种扩展，而是对它的彻底摆脱。

由于函数观念，不仅欧几里得几何学（它是儿童和门外汉所共有的属于人的几何学，其基础便是日常经验），而且阿基米德的算术，对于西欧的真正有意义的数学而言，不再有任何价值。

从此之后，数学单单只在于抽象的分析。

对于古典人而言，几何学和算术是自足的和完整的最高科学，两者都是现象的，都只关心可以被描画或计数的量的大小。

相反，对于我们来说，这些东西仅仅是日常生活的实际附属品。

加法和乘法是古典的两种计算量的大小的方法，和其孪生姐妹几何图形一样，它们在函数过程的无穷性中彻底地消失了。

甚至像乘方，最初只是数字地表示一组相同数值的连乘积，如今经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，也已经与数量大小完全没有了联系，而转移至只知道表示面积和体积的两种正整数的乘方的希腊人所难以理解的一种超越性的关系世界中了。

例如，我们可以看一下这样的表达式：

自文艺复兴以来，一项又一项的重大创造接踵而至，如早在1550年卡丹（cardan）就引入的虚数和复数；1666年经由牛顿在二项式定理上的重大发现而在理论上为其奠定了基础的无穷级数；莱布尼茨的微分几何和定积分；笛卡儿开启先河的作为一种新的数字单位的&ldo;集合&rdo;理论；还有像一般积分这样的新的运算方式；像函数向级数甚至向其他函数的无穷级数的扩展‐‐所有这一切，都是对在我们当中流行的感觉性的数字感的一种胜利，也是新数学为了实现新的世界感而赢得的胜利。

在所有历史中，一种文化对待另一种文化，如同我们的文化对待古典文化那样在科学的问题上如此长久地表现出敬仰和谦逊的态度，至今还找不出第二个例子。

经过了漫长的岁月，我们才有勇气去思考我们自己独具的思想。

但是，尽管效仿古典的意图一直都存在，可我们所作的每一步尝试，实际上都在使我们进一步远离想象中的理想。

因此，西方知识的历史，其实就是渐进地摆脱古典思想的历史，这种摆脱从来不是自愿的，而是在无意识的深处被迫的。

因此，新数学的发展，其实就是为对抗量的观念而进行的一场长期的、秘密的且最终获得胜利的战斗。

十

这一古典化的倾向的一个结果，便是妨碍了我们去发现与我们的西方数字本身相匹配的新的记号体系。

现今数学的符号语言歪曲了它的实际内涵。

这主要是由于这样一种倾向，即对作为量的数字的信念甚至在今天仍主宰着数学家的观念，可它还能不能作为我们所有的书写记号的基础呢？

但是，那可用来表达函数的，并不是各自独立的符号（例如x、、s），而是作为单位的函数本身，是作为要素的函数本身，是那再也不能从视觉上加以界定、且构成了新的数系的可变关系；这一新的数系需要有新的记号方法，后者的确立还要完全不受古典方法的影响。

看一下诸如和3x+4x=5x和xn+yn=zn（费马定理的方程式）这两个方程式（如果这同一个词语可以用来表达两个不同的事物的话）之间的不同：前一方程式是由几个古典数字‐‐亦即量‐‐构成的，而后一方程式则属于一种不同的数系，只是由于根据欧几里得-阿基米德的传统，写成了与前一方程式相同的形式，才掩盖了它们之间的差别。

在前一个方程式中，符号等于是要确立那些确定而实在的数量之间的严密联系，而在第二个方程式中，符号表示在一可变的意象领域存在着这样一种关系：若有某些变化发生，则必然会随之另一些变化。

第一个方程式有其自身的目标，那就是通过某一具体的量的度量，便可获得确定的东西，亦即一个&ldo;结果&rdo;，而第二个方程式，一般来说，并无结果可言，而不过是一种关系的图象和符号表示，这关系便是（这便是著名的费马问题）：当n＞2时，xn+yn=zn不可能有正整数解。

一位希腊数学家必定会觉得这是不可理喻的，因为他无法理解此等意味着&ldo;不可解&rdo;的运算的意图何在。