十八

从对象征性的空间世界的这种伟大的直观出发，便产生了西方数学最终的结论性的创造‐‐在群论中把函数论加以扩展和精练。

&ldo;群&rdo;，即是同源的数学意象的集合，例如，某一类型的所有微分方程之总体，便是一&ldo;群&rdo;。

&ldo;群&rdo;在结构和秩序上类似于戴德金的&ldo;数体&rdo;（nuber-bodies）。

在此，我们所感受到的，是全新的数的世界，对于行家的内在视觉而言，这世界并非全然地在感觉上是超越的；现在的问题在于，必须在这些庞大的抽象形式系统中，找出一些元素，相对于一种特殊的运算（如系统的转换）时，它们却能不受影响，就是说，可以保持不变。

用数学的语言来说，这个问题，正如克莱因（kle）所一般地阐述的：给定一n维的簇面（&ldo;空间&rdo;）及一组转换，需要考察的，乃是属于该簇面的诸形式不会因为&ldo;群&rdo;的转换而改变其既有的诸特性。

到了这一顶峰之后，我们的西方数学，作为浮士德心灵的观念的投影和最纯粹的表现，已耗尽了其每一种内在的可能性，完成了它的命运，就这样，它终止了自身的发展，一如古典文化的数学在公元前3世纪终结了一样。

这两种科学（甚至在今天，能历史地考察其有机结构的，也只有这两种数学了），皆产生于一种全新的数的观念，在古典的情形中，是毕达哥拉斯的数的观念，在西方的情形中，是笛卡儿的数的观念。

两者皆在百余年之后展尽了其所有的风采，达致其成熟的境界；两者皆在繁荣了三个世纪之后，皆于各自的文化步入大都市文明的时刻，完成了其观念的结构。

这种相互依赖的深刻意义，马上就会给以说明。

而此刻，对我们而言，明白伟大的数学家的时代已成过去，就已经够了。

我们现今的工作，就是保存、润饰、修正、选择‐‐而不再是伟大的动力性创造，这与晚期希腊化时代的亚历山大里亚数学所表现的巧妙的细节修补的特征是一样的。

下面的历史图表可以更清楚地说明两者之间的关系：

古典数学　　　　西方数学

1新的数字概念

约公元前540年，约公元1630年

数作为数量数作为关系

（毕达哥拉斯学派）（笛卡儿、帕斯卡尔、费马）

（牛顿、莱布尼茨，1670年）

（约公元前470年，雕刻胜过壁画）（约公元1670年，音乐胜过油画）

2系统发展的顶峰

公元前450～前350年　　公元1750～1800年

柏拉图、阿基塔斯、欧多克斯欧拉、拉格朗日、拉普拉斯