四

如果数学是像天文学或矿物学一样的一种纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。

可以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么做。

我们西欧人对数字提出了自己的科学观点，为的是完成雅典和巴格达的数学家所从事的相同的任务。

但事实是，在雅典和巴格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。

根本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。

我们所谓的&ldo;数学史&rdo;，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。

研究者决不可上当受骗。

古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生出来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者作明显的改变和完善来成就自身的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系。

第一种情况的代表便是毕达哥拉斯，第二种情况的代表是笛卡儿。

在这两种情况中，归根到底，行为都是一样的。

在这个方面，一种数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言之间的关系，是毋庸置疑的。

思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同出一辙。

雕刻家、画家、作曲家的形式感，就其性质而言，本质上都是数学的。

在17世纪的解析几何和投影几何中所体现出来的对一个无穷世界作的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生气盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展出可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这种对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展出了透视原则（这是只有西方人才会知道的有关空间世界的知觉几何学）。

对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为&ldo;在直观领域直接地领会形式的观念，对于这种形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割&rdo;。

数学超出了观察和分割的范围，它在其最高级的时刻可以通过想象而不是抽象来发现自己的道路。

还是歌德，曾说过一句意味深长的名言：&ldo;数学家只有在他从自身之中感受到真实的美时，他才是完备的。

&rdo;在此，我们当可感受到，数字的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的紧密啊！

也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万物的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里巴人进行交流，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、色彩的王国一样，皆是世界形式的意象。

正是因为这一点，&ldo;创造性&rdo;一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西‐‐牛顿、高斯、黎曼（rieann）都是天生的艺术家（artist-nature），我们知道，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之物。

老维尔斯特拉斯（weierstrass）曾经说：&ldo;一个数学家若不同时也是一个诗人，就决不是一个真正的数学家。

&rdo;

因而，数学就是一门艺术。

如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style-periods）。

它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是不可改变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。

当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。

对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关系，细节从未被人深究过，尽管美学从这些细节中所学的远多于从所谓的&ldo;心理学&rdo;中学到的。

如果写一本乐器史，不是（如人们时常所做的那样）从音调生产的技术角度来写，而是根据对音色和音效的深层精神基础的研究来写，则可揭示更多。

因为想用声音来填满无穷的空间，乃是一种意愿，一种强烈到近乎渴望的意愿，正是这种意愿产生了‐‐与古典的七弦琴和竖笛（里拉琴、基特拉琴；奥洛斯管、叙任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同‐‐键盘乐器（管风琴、钢琴等）和弓弦乐器这两大家族，并且早在哥特时期就已出现了。

这两大乐器家族的发展在精神上（可能也关系到技术源头）要归功于位于爱尔兰、威悉河和塞纳河之间的北部凯尔特-日耳曼人。

管风琴和古钢琴当然是英国人的功劳。

弓弦乐器于1480至1530年间在上意大利获得了其确定的形式，而管风琴发展成我们所知道的一种占据空间的庞然大物，一种在所有音乐史上还不曾见到相似物的乐器，这首要的是在德国。

巴赫及其时代那自由的管风琴演奏若不是一种分析‐‐对奇妙而巨大的音响世界的分析‐‐还能是什么。

类似地，还是与西方的数字思维相一致，而与古典思维相反，我们的弦乐器和管乐器也不是单独地而是在庞大的群体（弦乐器、木管乐器、铜管乐器）中发展的，是依据四级人声的音域排列的；现代管弦乐队的历史，以及它所有新乐器的发明和老乐器的改良，事实上是一个音响世界的自足的历史，而且这是一个完全可以用高等分析的形式加以表现的世界。